Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

（1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函數f（x）在x=2處的切線與直線 y=-

1

2

x-2013垂直，求實數a的值；
（2）當a=2時，求函數g（x）=f′（x） 的單調區間；
（3）試討論函數h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-

5

4

）x+

1

x

的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）在x=2處的切線與直線 y=-

1

2

x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）當a=2時，可求g（x），利用導數與函數單調性的關系可求其單調區間；
（3）求出h′（x），然后利用導數與函數單調性的關系解含參的二次不等式即可．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x2-(1-a)x-(a-1)-

1

x

，
因為函數f（x）在x=2處的切線與直線 y=-

1

2

x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）-

1

2

=2，解得a=-

1

2

，
所以a=-

1

2

．
（2）當a=2時，g（x）=f′（x）=x2+x-1-

1

x

，
g′（x）=2x+1+

1

x2

，因為x∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的單調增區間是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-

5

4

）x+

1

x

=x3+(a-1)x2-(a2-

1

4

)x-(a-1)，
h′（x）=3x2+2(a-1)x-(a2-

1

4

)=3[x-（a-

1

2

）]（x-

2a+1

6

），
①當a-

1

2

=

2a+1

6

即a=1時，h′（x）=3(x-

1

2

)2≥0，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a-

1

2

＜

2a+1

6

≤0即a≤-

1

2

時，由h′（x）＞0⇒x＞0，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a-

1

2

≤0＜

2a+1

6

即-

1

2

＜a≤

1

2

時，由h′（x）＞0⇒x＞

2a+1

6

，由h′（x）＜0⇒0＜x＜

2a+1

6

，函數h（x）在（0，

2a+1

6

）上單調遞減，在（

2a+1

6

，+∞）上單調遞增；
④當0＜a-

1

2

＜

2a+1

6

即

1

2

＜a＜1時，由h′（x）＞0⇒0＜x＜a-

1

2

或x＞

2a+1

6

，函數h（x）在（0，a-

1

2

），（

2a+1

6

，+∞）上單調遞增，在（a-

1

2

，

2a+1

6

）上單調遞減；
⑤當a-

1

2

＞

2a+1

6

即a＞1時，由h′（x）＞0⇒0＜x＜

2a+1

6

或x＞a-

1

2

，函數h（x）在（0，

2a+1

6

），（a-

1

2

，+∞）上單調遞增，在（

2a+1

6

，a-

1

2

）上單調遞減；
綜上，當a=1時，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增；當

1

2

＜a＜1時，函數h（x）的增區間是（0，a-

1

2

），（

2a+1

6

，+∞），減區間是（a-

1

2

，

2a+1

6

）；
當-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數h（x）的增區間是（

2a+1

6

，+∞），減區間是（0，

2a+1

6

）；當a≤-

1

2

時，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞1時，函數h（x）的增區間是（0，

2a+1

6

），（a-

1

2

，+∞），減區間是（

2a+1

6

，a-

1

2

）．

點評：本題考查導數的幾何意義、導數與函數單調性的關系，考查含參的二次不等式的解法及分類討論思想，難度較大．