Question

（2003•崇文區一模）若關于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一個正實數根，則實數k的取值范圍是

{k|k=0或k≥1}

．

Answer 1

分析：方程|x-1|-kx=0變形為|x-1|=kx，構造函數y₁=|x-1|，y₂=kx，由函數圖象的交點確定方程的實數根；

解答：解：由題意，方程|x-1|-kx=0可變形為，|x-1|=kx；
設y₁=|x-1|，y₂=kx，畫出函數圖象如圖所示，
要使方程有且只有一個正實數根，則y₁、y₂的圖象只須在y軸右側有唯一交點；
∴當k=0時，y₂=0，兩圖象在y軸右側有一交點（1，0），滿足條件；
當k＞0時，若k＜1，則兩圖象在y軸右側有兩交點，不滿足條件，若k≥1，則兩圖象在y軸右側有一交點，滿足條件；
當k＜0時，兩圖象在y軸右側無交點，不滿足條件；
所以，k的取值范圍是k=0，或k≥1
故答案為：{k|k=0或k≥1}．

點評：本題通過構造函數，借助于函數圖象討論方程根的存在性問題，是基礎題，也是易錯題．