Question

【題目】已知函數（為實常數且）．

（Ⅰ）當時；

①設，判斷函數的奇偶性，并說明理由；

②求證：函數在上是增函數；

（Ⅱ）設集合，若，求的取值范圍（用表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①見解析，②見解析，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）①確定函數的解析式，然后利用函數的定義域，及g（-x）=g（x）,g判斷函數的奇偶性；②利用二次函數與復合函數的單調性的，可證得函數的單調性

（Ⅱ）將原問題轉化為恒成立的問題，結合恒成立的條件即可求得實數λ的范圍．

（Ⅰ）①函數為偶函數，證明如下：

當a=1，b=3時， ，∴g(x)＝f(x+2)＝ ，

其定義域為{x|x≠1且x≠-1}，函數的定義域關于坐標原點對稱，

g(-x)==g(x),故g（x）是偶函數.

② ，

令u（x）= ，

易知u（x）在上是增函數，u（x）的值域為[-1,0), f（u）=在[-1,0)上增函數，故在上是增函數.

（Ⅱ）因為M∩N=，所以函數y=f（x）與y=的圖象無公共點，
即方程 （﹡）無無實解,

,

當λ=0時,方程無解，顯然符合題意，

當λ≠0時，令y＝(xa)(xb) = ，

令t=，則y= ，

當t=時，ymin=，

所以，要使（﹡）無實數解，只要 ，

綜上，