Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為x（x∈R），滿足S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在x（x∈R），使

Sn

S2n

=k（其中k是與正整數(shù)n無(wú)關(guān)的常數(shù)），若存在，求出x與k的值，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）求證：x為有理數(shù)的充要條件是數(shù)列{a_n}中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得由S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，由此兩方程得出a_n+1-a_n=1，即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）假設(shè)存在，由題意S_n=kS_2n，即xn+

1

2

n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0進(jìn)行判斷即可得到x與k的值
（3）由充要條件的證明方法，先證充分性，再證必要性即可．

解答：解：由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得由S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

故可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n∴a_n+1-a_n=1，即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為x公差為1，∴a_n=x+（n-1）（n∈N^*）
（2）由題意S_n=kS_2n，即xn+

1

2

n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0，當(dāng)x=

1

2

，k=

1

4

時(shí)，該式恒成立即：當(dāng)x=

1

2

時(shí)，

Sn

S2n

=

1

4

，∴x=

1

2

，k=

1

4

即為所求
（3））證明：充分性若三個(gè)不同的項(xiàng)x+i，x+j，x+k成等比數(shù)列，且i＜j＜k
則（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik
若i+k-2j=0，則j²-ik=0，∴i=j=k與i＜j＜k矛盾．i+k-2j≠0
∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非負(fù)數(shù)，∴x是有理數(shù)；
必要性：若x是有理數(shù)，且x≤0，則必存在正整數(shù)k，使x+k＞0，令y=x+k，則正項(xiàng)數(shù)列y，y+1，y+2…是原數(shù)列
x，x+1，x+2…的一個(gè)子數(shù)列，只要正項(xiàng)數(shù)列y，y+1，y+2…中存在三個(gè)不同的項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列則原數(shù)列中必有3個(gè)不同項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，
不失一般性，不妨設(shè)x＞0，記x=

n

m

（m，n∈N^*，且m，b互質(zhì)），又設(shè)k，l∈N^*，l＞k，且x，x+k，x+l成等比數(shù)列，則（x+k）²=x（x+l）?2k+

m

n

k2，為使l為整數(shù)，可令k=2n，于是l=2n+mn=n（m+2），可知x，x+n，x+n（m+2），成等比數(shù)列，證畢

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，解題的關(guān)鍵是充分利用遞推式的恒成立的特性，通過(guò)恒等變形得到數(shù)列的性質(zhì)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)，本題第三問(wèn)涉及到了充要條件的證明，要注意其證明格式．本題比較抽象，運(yùn)算量大，運(yùn)算變形時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)．