Question

數列滿足:,(≥3),記

(≥3).

(1)求證數列為等差數列,并求通項公式;

(2)設,數列{}的前n項和為,求證:<<.

 

Answer 1

(1) (2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)本題實質由和項求通項：

當n≥3時,因①, 故②，

②-①,得 bn-1-bn-2===1,為常數，所以,數列{bn}為等差數列因 b1==4,故 (2)本題證明實質是求和，而求和關鍵在于對開方：因 ，

故 .

所以 ,即 n<Sn

又<,于是. 于是

解 (1)方法一 當n≥3時,因①,

故② 2分

②-①,得 bn-1-bn-2===1,為常數,所以,數列{bn}為等差數列 5分

因 b1==4,故 8分

方法二 當n≥3時,a1a2an=1+an+1, a1a2anan+1=1+an+2, 將上兩式相除并變形,得 ------2分 于是,當n∈N*時,

. 5分

又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).

所以數列{bn}為等差數列,且bn=n+3 8分

(2) 因 , 10分

故 . 12分

所以 ,

即 n<Sn 。 14分

又<,于是. 于是. 16分

考點：等差數列定義，裂項求和