Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（Ⅱ）求點A₁到平面AED的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BG，則BG是BE在面ABD的射影，易證∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角，設F為AB中點，連接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；
（2）連接A₁D，有，建立等量關系，求出點A₁到平面AED的距離即可．
解答：解：（Ⅰ）連接BG，則BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角．
設F為AB中點，連接EF、FC，
∵D，E分別是CC₁，A₁B的中點，
又DC⊥平面ABCD，
∴CDEF為矩形，連接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF²=FG•FD=FD²，
∵EF=1，∴FD=．
于是ED=，EG=
∵FC=，CD=1
∴AB=2，A₁B=2，EB=，
∴A₁B與平面ABD所成的角是arcsin；

（Ⅱ）連接A₁D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，設A₁到平面AED的距離為h，
則，
，
．
∴，
即A₁到平面AED的距離為．
點評：本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．