Question

是否存在實數k使方程8x²-6kx+2k+1=0的兩根成為一個直角三角形兩銳角A，B的正弦值？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由題意可得 A+B=

π

2

，sinA=cosB，由 sin²A+cos²A=1，可得x12+x22=1，再由一元二次方程根與系數的關系求出 x₁+x₂ 及 x₁•x₂ 的值，從而得到(

3k

4

)2-2×

2k+1

8

=1，解出k的值，再檢驗得出結論．

解答：解：假設存在實數k，使方程的兩根是一個直角三角形的兩銳角A，B的正弦，
則 A+B=

π

2

，sinA=cosB．∵sin²A+cos²A=1，∴x12+x22=1．
∵x₁+x₂=

6k

8

=

3k

4

，x₁•x₂=

2k+1

8

，∴(

3k

4

)2-2×

2k+1

8

=1，即9k²-8k-20=0，∴k=2或-

10

9

．
當k=2時，原方程為8x²-12x+5=0，△＜0，不合題意．
當k=-

10

9

時，原方程為8x2+

20

3

x-

11

9

=0，x₁•x₂＜0，不合題意．
綜上知，不存在實數k適合題意．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，誘導公式的應用，一元二次方程根與系數的關系，屬于中檔題．