Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：
（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明理由.      

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，把恒成立轉(zhuǎn)化為最值；（Ⅱ）可用數(shù)學(xué)歸納法來證明；（Ⅲ）通過放縮法來解決與的大小比較問題.
試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b
∴
∴
要使函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，則在定義域（0，+∞）內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，
當(dāng)a=0時(shí)，在（0，+∞）內(nèi)恒成立；
當(dāng)a>0時(shí)， 恒成立，則∴
當(dāng)a<0時(shí)， 恒成立
∴a的取值范圍是:       5分
(Ⅱ)   ∴a=1   則：
于是
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即也成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，
綜上得對(duì)所有時(shí)，都有         10分
（Ⅲ）由（2）得

于是
所以 ，
累稱得：則
所以    13分