Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)

（0，±3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義，P到兩焦點(diǎn)距離之和滿足|PF₁|+|PF₂|=2a=10，由基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=5時(shí)，P到兩焦點(diǎn)距離之積為m有最大值為25．由此可得m取最大值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂
根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵|PF₁|•|PF₂|≤[

1

2

（|PF₁|+|PF₂|）]²=25
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=5時(shí)，P到兩焦點(diǎn)距離之積為m有最大值為25
∴當(dāng)m取最大值時(shí)，P點(diǎn)位于短軸的頂點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，±3）
故答案為：（0，±3）

點(diǎn)評：本題求橢圓上動點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之積的最大值．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．