Question

（本小題滿分12分）

已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)，點P滿足|PF₁|－|PF₂|＝2，記點P的軌跡為S，過點F₂作直線與軌跡S交于P、Q兩點，過P、Q作直線x＝的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ＝|AP|·|BQ|．

（1）求軌跡S的方程；

（2）設點M（－1，0），求證：當λ取最小值時，△PMQ的面積為9．

Answer 1

（1）x²－＝1 (x≥1)（2）見解析

解析:

（1）由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支．

由c＝2,2a＝2，∴b²＝3．故軌跡S的方程為x²－＝1 (x≥1)   …….……4分

（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，與雙曲線方程聯立消y得

(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0．                                 …………5分

∴

   解得k²＞3．…… 7分

|AP|·|BQ|＝＝(2x₁－1)(2x₂－1)

＝[4x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋1]＝x₁x₂－＋

＝－＋＝＋＝＋＞．        ………..…………..9分

當斜率不存在時，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值為．         ………………10分

此時，|PQ|＝6，|MF₂|＝3，S_△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9．        ………………12分