Question

在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F，且=4.

（1）求點C的軌跡方程；

（2）若，①試確定點F的坐標；②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想.

Answer 1

解：（1）如圖，設點C（x,y）(x≠0)、E（x_E,0）.F(x_F,0)，

由A、C、E三點共線，,

x_E=，同理由B、C、F三點共線可得x_F=.

∵=4，

∴x_E·x_F=·=4化簡得C的軌跡方程為x²+4y²=4(x≠0).

（2）若，①設F（x_F,0）,C(x_c,y_c),

∴(x_c,y_c+1)=-8(x_F-x_c,-y_c),

∴x_c=x_F,y_c=,代入x²+4y²=4得

x_F=±,

∴點F（±3，0），即為橢圓的焦點.

②猜想：取F（，0），設F₁（-，0）是左焦點，則當點P位于直線BF₁與橢圓的交點處時，△PBE周長最大為8.證明如下：

∵|PF|+|PB|=4-|PF₁|+|PB|≤4+|BF₁|,

∴△PBF的周長≤4+|BF₁|+|BF|=8.