Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)的圖像剛好與軸相切時，設(shè)函數(shù)，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，通過導(dǎo)論參數(shù)和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值大于零，求出對應(yīng)增區(qū)間即可

（2）當(dāng)時，，由（1）知切點(diǎn)即為，可求出，求出，先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)進(jìn)一步判斷函數(shù)增減性，確定極值點(diǎn)，求證在該極值點(diǎn)處函數(shù)值小于即可

解：（1），，

當(dāng)時，，的單調(diào)增區(qū)間是；

當(dāng)時，由可得，

綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）易知切點(diǎn)為，

由得，，

所以

設(shè)，

則在上是增函數(shù)，

，

當(dāng)時，，

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

即.

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

所以存在極小值.

又，則，故，

故存在極小值且該極小值小于.