Question

如圖，正方形所在平面與圓所在的平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在的平面，垂足為圓上異于、的點，設正方形的邊長為，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若異面直線與所成的角為，與底面所成角為，二面角所成角為，求證

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）證明平面平面，即證明平面，轉化為證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；（2）立體幾何中求空間角的方法有兩種，一是常規法，找出（或作出）適合題意的角；證明找出的角符合對應角的要求；求出相關角的大小（或三角函數值）.二是用向量法，即先確定兩個向量（直線的方向向量或平面的法向量）求兩個向量夾角的余弦值，注意確定所求的夾角與向量夾角的關系，最后得出所求的角或角的三角函數值.

試題解析：（1）圓所在的平面，在圓所在的平面上，，

又在正方形中，，，平面，

又平面，平面平面.

（2）平面，平面，，即為圓的直徑，

又，且，，

以點為坐標原點，分別以為軸、軸，以垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，

，，，，

又，，，

由此得，

設平面的一個法向量，則，即，

取，則，又平面的一個法向量為，

，，

于是，即.

考點：空間幾何體的線線、線面關系，線面、面面角的求法.