Question

設為數列的前項和，對任意的，都有（為正常數）.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）數列滿足，，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用與之間的關系，對分兩種情況討論，時，求的值，時，利用得出與之間的關系，進而利用定義證明數列為等比數列；
（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據數列的遞推公式的結構利用倒數法得到數列為等差數列，通過求處等差數列的通項公式求出數列的通項公式；（3）利用（2）中數列的通項公式，并根據數列的通項公式的結構選擇錯位相減法求數列的前項和.
試題解析：（1）證明：當時，，解得．       1分
當時，．即．       2分
又為常數，且，∴．         3分
∴數列是首項為1，公比為的等比數列．        4分
（2） 5分 ∵，∴，即． 7分
∴是首項為，公差為1的等差數列．               8分
∴，即．           9分
（3）由（2）知，則．
所以，                                10分
即，       ①  11分
則，      ②   12分
②－①得，        13分
故．        14分