Question

對于一切實數(shù)x，令[x]為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）=[x]為高斯實數(shù)或取實數(shù)，若an=f(

n

3

)，n∈N*，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則S_3n=

3n2-n

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)所給的新定義推導(dǎo)數(shù)列的幾項，從這幾項中看出數(shù)列的項的特點，找出規(guī)律，得到最終結(jié)果為S_3n=3[0+1+2++（n-1）]+n．

解答：解：∵f（x）=[x]為高斯實數(shù)或取實數(shù)，若an=f(

n

3

)，n∈N*，
∴a1=f(

1

3

)=[

1

3

]=0，
a2=f(

2

3

)=[

2

3

]=0，
a3=f(

3

3

)=[

3

3

]=1，
a4=f(

4

3

)=[

4

3

]=1，
a5=f(

5

3

)=[

5

3

]=1，
a6=f(

6

3

)=[

6

3

]=2，
a7=f(

7

3

)=[

7

3

]=2，
…
a3n=f(

3n

3

)=[

3n

3

]=n，
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=

1

2

(3n2-n)（n∈N^*）．
故答案為：

3n2-n

2

點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，主要涉及了數(shù)列的推導(dǎo)與歸納，同時又是新定義題，應(yīng)熟悉理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化為已知去解決．