Question

已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）。
（1）求實數b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[ ，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由f（e）=2，代入f（x）=-ax+b+axlnx，得b=2；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，函數f（x）的定義域為（0，+∞），從而f′（x）=alnx，
∵a≠0，故
①當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞1，
由f′（x）＜0得0＜x＜1；
②當a＜0時，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；
綜上，當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）；
（3）當a=1時，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx，
由（2）可得，當x∈（，e），f（x），f′（x）變化情況如下表：

因為
所以y=f（x）在上的值域為[1，2]，
據此可得，若則對每一個直線與曲線都有公共點；并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點
綜上，當時，存在最小的實數，最大的實數，使得對每一個，直線與曲線（）都有公共點。