Question

對于E={a₁,a₂,…,a₁₀₀}的子集X=,定義X的“特征數列”為x₁,x₂…,x₁₀₀,其中==…==1.其余項均為0,例如:子集{a₂,a₃}的“特征數列”為0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a₁,a₃,a₅}的“特征數列”的前3項和等于　　　　;
(2)若E的子集P的“特征數列”p₁,p₂,…,p₁₀₀滿足p₁=1,p_i+p_i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數列”q₁,q₂,…,q₁₀₀滿足q₁=1,q_j+q_j+1+q_j+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數為　　　　.

Answer 1

(1)2　(2)17

(1)根據定義,子集{a₁,a₃,a₅}的“特征數列”為1,0,1,0,1,0,0,…,0,共有3個1,其余全為0,該數列前3項和為2.
(2)E的子集P的“特征數列”p₁,p₂,…,p₁₀₀中,由于p₁=1,p_i+p_i+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a₁.
又當i=1時,p₁+p₂=1,且p₁=1,故p₂=0.
同理可求得p₃=1,p₄=0,p₅=1,p₆=0,….
故E的子集P的“特征數列”為1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,
即P={a₁,a₃,a₅,a₇,…,a₉₉}.
用同樣的方法求出Q={a₁,a₄,a₇,a₁₀,…,a₁₀₀}.
因為1+3(n-1)=100,所以集合Q中有34個元素,下標是奇數的項有17個,
即P∩Q={a₁,a₇,a₁₃,a₁₉,…,a₉₇},共有17個元素.