Question

（2013•松江區一模）“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養殖密度x（單位：尾/立方米）的函數．當x不超過4（尾/立方米）時，v的值為2（千克/年）；當4≤x≤20時，v是x的一次函數；當x達到20（尾/立方米）時，因缺氧等原因，v的值為0（千克/年）．
（1）當0＜x≤20時，求函數v（x）的表達式；
（2）當養殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意：當0＜x≤4時，v（x）=2．當4＜x≤20時，設v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是減函數，由已知得

20a+b=0 4a+b=2

，能求出函數v（x）．
（2）依題意并由（1），得f（x）=

2x，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x2+ 5 2 x，4≤x≤20，x∈N*.

，當0≤x≤4時，f（x）為增函數，由此能求出f_max（x）=f（4），由此能求出結果．

解答：解：（1）由題意：當0＜x≤4時，v（x）=2．…（2分）
當4＜x≤20時，設v（x）=ax+b，顯然v（x）=ax+b在[4，20]是減函數，
由已知得

20a+b=0 4a+b=2

，
解得

a=- 1 8 b= 5 2

…（4分）
故函數v（x）=

2，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x+ 5 2 ，4≤x≤20，x∈N*

…（6分）
（2）依題意并由（1），
得f（x）=

2x，0＜x≤4，x∈N* - 1 8 x2+ 5 2 x，4≤x≤20，x∈N*.

，…（8分）
當0≤x≤4時，f（x）為增函數，
故f_max（x）=f（4）=4×2=8．…（10分）
當4≤x≤20時，f(x)=-

1

8

x2+

5

2

x=-

1

8

(x2-20x)=-

1

8

(x-10)2+

100

8

2，
f_max（x）=f（10）=12.5．…（12分）
所以，當0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．
當養殖密度為10尾/立方米時，
魚的年生長量可以達到最大，最大值約為12.5千克/立方米．…（14分）

點評：本題考查函數表達式的求法，考查函數最大值的求法及其應用，解題時要認真審題，注意函數有生產生活中的實際應用．