Question

“-1＜a＜1”是“函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間（a-2，a）上有最大值”的（　�。�

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間（a-2，a）上有最大值的等價條件，然后利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解：函數(shù)f（x）=x³-3x的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²-3=3（x²-1），
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得極大值，此時極大值為f（-1）=-1+3=2．
當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值．
當(dāng)f（x）=2時，由x³-3x=2，即x³-3x-2=0，解得x=2或x=-1，
要使函數(shù)f（x）在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，
則滿足

a-2＜-1 -1＜a≤2

，即

a＜1 -1＜a≤2

，解得-1＜a＜1．
故“-1＜a＜1”是“函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間（a-2，a）上有最大值”的充要條件．
故選C．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．