Question

設a、b、c都是正數，則a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三個數

④

．
①都大于2
②至少有一個大于2
③至少有一個不大于2
④至少有一個不小于2．

Answer 1

分析：對a，b，c取特殊值可以排除①②③，要說明④正確，采用反證法的思想，由基本不等式得到a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三個數的和大于等于6，假若a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三個數均小于2，這與a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三個數的和大于等于6矛盾．

解答：解：取a=b=c=1，則a+

1

b

=b+

1

c

=c+

1

a

=2．
所以①②不正確；
取a=b=c=2，則a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

均大于2．
所以③不正確；
由a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

=(a+

1

a

)+(b+

1

b

)+(c+

1

c

)≥2

a• 1 a

+2

b• 1 b

+2

c• 1 c

=6．
所以a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三個正數中至少有一個不小于2，否則a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜6，矛盾．
故答案為④．

點評：本題考查了基本不等式，考查了命題真假的判定，要說明一個命題是假命題，舉一反例即可，要說明一個命題為真命題，需要嚴格的理論證明，此題是基礎題．