Question

已知角A、B為銳角，且cos（A+B）•sinB=sinA，則tanA的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   3
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由條件可得-cosCsinB=sinA，利用正弦定理和余弦定理可得3a²+b²=c²，由 tan²A=-1，且A為銳角，判斷知，
求tanA的最大值即求cosA的最小值，由基本不等式求出cosA的最小值，從而求得tanA的最大值．
解答：由cos（A+B）sinB=sinA得-cosCsinB=sinA，
利用正弦定理和余弦定理，-×b=a，化簡可得 3a²+b²=c²．
由 tan²A=-1，且A為銳角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．
只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值．
又cosA==≥，當且僅當 b=c時，等號成立．
即cosA的最小值為 ． 故tan²A 的最大值為 ，
故tanA的最大值 =．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理和余弦定理、基本不等式的應用，屬于中檔題．