Question

某中學舉行了一次“上海世博會知識競賽”，從全校參加競賽的學生的試卷中，隨機抽取了一個樣本，考察競賽的成績分布（得分均為整數，滿分100分），將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖，圖中從左到右各小組的長方形的高之比為1：3：6：4：2，最右邊一組的頻數是6．請結合直方圖提供的信息，解答下列問題：
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）成績落在那個范圍內的人數最多？并求該小組的頻數、頻率；
（Ⅲ）估計這次競賽中，成績高于60分的學生占總人數的百分比．

Answer 1

解：在頻率分布直方圖中，長方形的高之比=面積之比=頻數之比=頻率之比
（Ⅰ）∵最右邊一組的頻數是6，從左到右各小組的長方形的高之比為1：3：6：4：2
∴設樣本容量為n，得（1+3+6+4+2）：n=2：6
∴n=48，樣本容量為48
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以看出，成績落在[60，70）內的人數最多，
頻數為6×，頻率為
（Ⅲ）在此樣本中，成績高于60分的學生占總人數的百分比為

由此可以估計出：在這次競賽中，成績高于60分的學生占總人數的百分比約為75%．
分析：（I）根據最右邊一組的頻數是6，而頻率等于該組的面積在整個圖形面積中的百分比，因此可得樣本容量為48；
（II）圖中矩形面積最大的一組就是人數最多的組，由此找出最高的矩形，在[60，70）這一組，再用公式求出其頻數、頻率；
（Ⅲ）用樣本估計總體：在樣本中算出[60，70）、[70，80）、[80，90）這三個組占總數的百分比，就可以估計出成績高于60分的學生占總人數的百分比．
點評：本題考查了頻率直方圖的有關知識，屬于基礎題．頻率直方圖中，各個小長方形的面積等于該組數據的頻率，所有長方形的面積之和等于1．