Question

已知函數g（x）=-x²-3，f（x）是二次函數，當x∈[-1，2]時f（x）的最小值為1，且f（x）+g（x）為奇函數，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據題意設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），再由f（x）+g（x）為奇函數求出a、c的值，再求對稱軸，根據所給的區間進行分類討論，分別求出f（x）的最小值列出方程，求出b的值．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵f（x）+g（x）為奇函數，∴a=1，c=3
∴f（x）=x²+bx+3，對稱軸x=-

b

2

，
①當-

b

2

＞2，即b＜-4時，f（x）在[-1，2]上為減函數，
∴f（x）的最小值為f（2）=4+2b+3=1，∴b=-3，∴此時無解
②當-1≤-

b

2

≤2，即-4≤b≤2時，f（x）_min=f（-

b

2

）=3-

b2

4

=1，∴b=±2

2

∴b=-2

2

，此時f（x）=x²-2

2

x+3，
③當-

b

2

＜-1s時，即b＞2時，f（x）在[-1，2]上為增函數，
∴f（x）的最小值為f（-1）=4-b=1，
∴b=3，∴f（x）=x²+3x+3，
綜上所述，f（x）=x²-2

2

x+3，或f（x）=x²+3x+3．

點評：本題考查了函數性質的綜合應用，待定系數法求函數的解析式，以及分類討論思想求二次函數在定區間上的最值問題．