Question

（本題滿分15分）已知實數a滿足0＜a≤2，a≠1，設函數f (x)＝x³－x²＋ax．

（Ⅰ） 當a＝2時，求f (x)的極小值；

（Ⅱ）若函數g(x)＝x³＋bx²－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的極小值點與f (x)的極小值點相同．

求證：g(x)的極大值小于等于．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) f (x)極小值為f (2)＝．(Ⅱ) g(x)的極大值小于等于． 

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數判定函數的單調性以及函數的極值的問題。

（1）因為當a＝2時，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)，然后求解導數為零的點，以及導數大于零或者小于零的解集即可判定單調性得到極值。

（2）因為函數g(x)＝x³＋bx²－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的極小值點與f (x)的極小值點相同，則分析函數g(x)的極值，求解導數，對于參數a分類討論得到單調區間，進而得到極值，利用相等來解得。

(Ⅰ) 解: 當a＝2時，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

        列表如下：

 

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

 

所以，f (x)極小值為f (2)＝．           …………………………………5分

(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

g ′(x)＝3x²＋2bx－(2b＋4)＋＝．

令p(x)＝3x²＋(2b＋3)x－1，

  (1) 當 1＜a≤2時，

f (x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a²＋(2b＋3a)－1＝0，

即b＝，

此時g(x)_極大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

(2) 當0＜a＜1時，

f (x)的極小值點x＝1，則g(x)的極小值點為x＝1，

由于p(x)＝0有一正一負兩實根，不妨設x₂＜0＜x₁，

所以0＜x₁＜1，

即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－．

此時g(x)的極大值點x＝x₁，

有 g(x₁)＝x₁³＋bx₁²－(2b＋4)x₁＋lnx₁

＜1＋bx₁²－(2b＋4)x₁

＝(x₁²－2x₁)b－4x₁＋1　  (x₁²－2x₁＜0)

＜－(x₁²－2x₁)－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1

＝－(x₁－)²＋1＋   (0＜x₁＜1)

≤

＜．

綜上所述，g(x)的極大值小于等于．     ……………………14分