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在△OAB中，
（1）若C為直線AB上一點，且
AC
=λ
CB
(λ≠-1)，求證：
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
；
（2）若
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，且C為線段AB上靠近A的一個三等分點，求
OC
•
AB
的值；
（3）若|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，且P1，P2，P3，…，Pn-1為線段AB的n（n≥2）個等分點，求
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
的值．
分析：（1）由
AC
=λ
CB
，得
OC
-
OA
=λ(
OB
-
OC
)．然后求出
OC
即可證明結論．
（2）利用（1）化簡
OC
•
AB
，結合
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，求出λ，推出
OC
•
AB
的值．
（3）利用（1）的結論，化簡
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
為
n-1
2
(
OB
-
OA
)(
OB
+
OA
)，求出它的值．
解答：解：（1）由
AC
=λ
CB
，得
OC
-
OA
=λ(
OB
-
OC
)．
即(1+λ)
OC
=
OA
+λ
OB
，因為λ≠-1，所以
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
．（4分）
（2）
OC
•
AB
=
OA
+λ
OB
1+λ
(
OB
-
OA
)=
1-λ
1+λ
OA
•
OB
+
λ
1+λ
OB
2-
1
1+λ
OA
2（6分）
因為
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，所以
OC
•
AB
=
λ-1
λ+1
a2．
由于C為線段AB上靠近A的一個三等分點，故λ=
1
2

所以
OC
•
AB
=-
1
3
a2（8分）
（3）
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
=
AB
(
OP1
+
OP2
+…+
OPn-1
)
=
AB
(
OA
+
1
n-1
OB
1+
1
n-1
+
OA
+
2
n-2
OB
1+
2
n-2
+…+
OA
+
n-1
n-(n-1)
OB
1+
n-1
n-(n-1)
)（10分）
=
AB
[(
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
)
OA
+(
1
n
+
2
n
+
n-1
n
)
OB
]
=
n-1
2
(
OB
-
OA
)(
OB
+
OA
)=
n-1
2
(
OB
2-
OA
2)=n-1（14分）
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•廣州一模）如下圖，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，點P分線段AB所成的比為3：1，以OA、OB所在直線為漸近線的雙曲線M恰好經過點P，且離心率為2．
（1）求雙曲線M的標準方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點E、F，且E、F兩點都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在△OAB中，
（1）若C為直線AB上一點，且數(shù)學公式，求證：數(shù)學公式；
（2）若數(shù)學公式，數(shù)學公式，且C為線段AB上靠近A的一個三等分點，求數(shù)學公式的值；
（3）若數(shù)學公式，數(shù)學公式，且P1，P2，P3，…，Pn-1為線段AB的n（n≥2）個等分點，求數(shù)學公式的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在△OAB中，
（1）若C為直線AB上一點，且
AC
=λ
CB
(λ≠-1)，求證：
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
；
（2）若
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，且C為線段AB上靠近A的一個三等分點，求
OC
•
AB
的值；
（3）若|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，且P1，P2，P3，…，Pn-1為線段AB的n（n≥2）個等分點，求
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省連云港市東海高級中學高三（上）期末數(shù)學模擬試卷（二）（解析版） 題型：解答題

在△OAB中，
（1）若C為直線AB上一點，且，求證：；
（2）若，，且C為線段AB上靠近A的一個三等分點，求的值；
（3）若，，且P1，P2，P3，…，Pn-1為線段AB的n（n≥2）個等分點，求的值．

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