Question

【題目】已知定義在R上奇函數(shù)f(x)在時(shí)的圖象是如圖所示的拋物線的一部分.

（1）請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象；

（2）寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

（3）討論方程|f(x)|=a的解的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得圖象；

（2）時(shí)，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，頂點(diǎn)在，且過原點(diǎn)利用拋物線的頂點(diǎn)式寫出其解析式即可，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得f(x)的表達(dá)式；

（3）方程|f(x)|=a的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.

解：（1）補(bǔ)全f(x)的圖象如圖所示：

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由f(0)=0得，a=2，

所以此時(shí)，.

當(dāng)x<0時(shí)，x>0，所以①

又f(x)=f(x)，代入①得

綜上可得，.

（3）方程|f(x)|=a的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖2所示，

由圖象可得，當(dāng)a<0時(shí)，方程無解；當(dāng)a=0時(shí)，方程有三個(gè)解；

當(dāng)0<a<2時(shí)，方程有6個(gè)解；當(dāng)a=2時(shí)，方程有4個(gè)解；當(dāng)a>2時(shí)，方程有2個(gè)解.