Question

在△ABC中，已知

sin2A+sin2B-sin2C

sin2A-sin2B+sin2C

=

1+cos2C

1+cos2B

，求△ABC的形狀．

Answer 1

分析：根據正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡已知等式得到

cos C

cos B

(

b

c

-

cosC

cosB

)=0，再分別討論等式

cos C

cos B

=0和等式

b

c

-

cosC

cosB

=0，結合特殊角的三角函數值和三角恒等變換化簡，即可得到△ABC為等腰三角形或直角三角形．

解答：解：∵

sin2A+sin2B-sin2C

sin2A-sin2B+sin2C

=

1+cos2C

1+cos2B

，
∴根據正弦定理與二倍角的余弦公式，得

a2+b2-c2

a2-b2+c2

=

cos2C

cos2B

∵a²+b²-c²=2abcosC，a²-b²+c²=2accosB，
∴代入，化簡得

cos C

cos B

(

b

c

-

cosC

cosB

)=0，即

cos C

cos B

=0或

b

c

-

cosC

cosB

=0
①當

cos C

cos B

=0時，cosC=0得C=90°
②當

b

c

-

cosC

cosB

=0時，根據正弦定理得

sinB

sinC

-

cosC

cosB

=0
化簡得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C
∴B=C或B+C=90°，三角形為等腰或直角三角形
綜上所述，△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點評：本題給出三角形的邊角關系式，判斷三角形的形狀．著重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等變換和三角形形狀的判斷等知識，屬于中檔題．