Question

已知向量

a

=(sin2

π+2x

4

，cosx+sinx)，

b

=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換以及兩個向量數量積公式化簡f（x）的解析式為2sinx+1．
 （2）f（x）的圖象與x軸的正半軸的第一個交點為(

7π

6

，0)，可得f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積S=

∫

7π 6 0

(2sinx+1)dx，運算求得結果．

解答：解：（1）f(x)=sin2

π+2x

4

•4sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)----（2分）
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1 
∴f（x）=2sinx+1．------（7分）
（2）令f（x）=2sinx+1=0，可得sinx=-

1

2

，∴x=2kπ-

π

6

，k∈z．
f（x）的圖象與x軸的正半軸的第一個交點為(

7π

6

，0)------（9分）
∴f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
S=

∫

7π 6 0

(2sinx+1)dx=（-2cosx+x）

/

7π 6 0

=（-2cos

7π

6

+

7π

6

）-（-2cos0+0）
=2+

3

+

7π

6

------（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換以及兩個向量數量積公式的應用，利用定積分求圖形的面積，化簡f（x）的解析式為2sinx+1，是解題的關鍵，屬于中檔題．