Question

如圖，在空間四邊形中，E、F、G、H是邊AB、BC、CD、AD的中點，AB=CD且AB垂直CD．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）求異面直線AB與FH夾角的度數．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線平行且等于底邊長的一半，來證四邊形的對邊平行且相等，從而證明四邊形是平行四邊形；
（2）取AC的中點，根據三角形的中位線平行與底邊證異面直線所成的角，解三角形求解即可．

解答：解：（1）∵E、F、G、H是邊AB、BC、CD、AD的中點，∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH，又EF=GH=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）去AC的中點O，連接OF、OH，
∵O、F、H分別是AC、BC、AD的中點，∴OF∥AB，OH∥CD，且OF=

1

2

AB，OH=

1

2

CD
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴△OFH為等腰直角三角形，
又OF∥AB，∴∠OFH為異面直線AB與FH所成的角，
∴異面直線AB與FH夾角的度數為45°．

點評：本題考查異面直線所成角的求法、平面的基本性質及推論．