Question

【題目】已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，.

(1)證明:平面平面；

(2)點E是棱PC上一點，且平面，求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）利用勾股定理可以得出，即，由線面垂直的判定定理，證得平面PBD；（2）建立直角坐標系，求出平面EOB、平面AOB的法向量，得出兩個法向量的夾角余弦值，進而求得夾角的正弦值．

(1)證明:等腰梯形中，

又，∴，∴.

∴，∴，即

又∵，且，∴平面，

又∵平面，∴平面平面

(2)連接，由(1)知，平面，∴

∴

∴，即

如圖，以OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸z軸建立空間直角坐標系

則，，平面的法向量

∵平面，平面

平面平面，∴，

設平面EOB的法向量為，則⊥，即，

⊥⊥，

令，則

∴，

∴所求二面角的正弦值是.