Question

已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線L方程為y=x+1，L交橢圓于M、N兩點，求|MN|的長．

Answer 1

解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），
由橢圓短軸長為4得2b=4，解得b=2，
由離心率為，得，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以橢圓的標準方程為；
（2）由得9x²+10x-15=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
所以|MN|=|x₁-x₂|===；
分析：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），由短軸長可得b值，由離心率為，可得，結合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）聯立方程組消掉y得到x的二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理及弦長公式即可求得弦長|MN|．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，弦長公式及韋達定理是解決該類題目的基礎知識，要熟練掌握．