Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)有零點(diǎn)，其實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論兩種情況，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，結(jié)合函數(shù)的圖象和零點(diǎn)定理即可求出的取值范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求出函數(shù)的最值，即可證明.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.由，得.

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，則時(shí)， 時(shí)， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng).當(dāng)，即時(shí)，又，所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).

綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）要證明當(dāng)時(shí)， ，即證明當(dāng)時(shí)， ，即，令，則，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)， .于是，當(dāng)時(shí)， .①令，則.當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)， .于是，當(dāng)時(shí)， .②顯然，不等式①、②中的等號不能同時(shí)成立.

故當(dāng)時(shí)， ).