Question

【題目】已知函數， .

（1）求的單調區間；

（2）若圖像上任意一點處的切線的斜率，求的取值范圍；

（3）若對于區間上任意兩個不相等的實數都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：

（1）求導數后，解不等式可得函數的單調區間．（2）由題意可求得導函數的最小值為，可得，結合，可得，即為所求范圍．（3）由題意得當時， 在區間上恒單調遞減，故有．然后根據的取值的到函數的單調性，從而去掉中的絕對值，將問題轉化為函數在區間上單調的問題處理，結合導函數的符號可求得所求范圍．

試題解析：

（1）由，

得

因為,

所以由得；

由得．

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由（1）可知，

所以，

由，得，

整理得，

解得

又，

所以．

故實數的取值范圍為．

（3）不妨設，

當時， 在區間上恒單調遞減，有

①當時， 在區間上單調遞減，

故，

則等價于，

令，由知在區間上單調遞減，

又，

所以當時， 恒成立，

所以，

解得．

② ．

③當， 在區間上單調遞增，

故

則等價于，

令，由知在區間上單調遞減，

又，

所以當時， 恒成立，

所以，

解得，

綜上可得實數的取值范圍為．