Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中點．
（Ⅰ）證明：ND∥面PAB；
（Ⅱ）求AN與面PND所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中點M，連結AM，MN，證明：四邊形AMND是平行四邊形，得出ND∥AM，即可證明ND∥面PAB；
（Ⅱ）在面PAD內過A做AF⊥PD于F，則CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，連接NF，則∠ANF是AN與面PND所成的角，即可求AN與面PND所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取PB中點M，連結AM，MN．
∵MN是△BCP的中位線，∴MN平行且等于$\frac{1}{2}$BC．    （1分）
依題意得，AD平行且等于$\frac{1}{2}$BC，則有AD平行且等于MN（2分）
∴四邊形AMND是平行四邊形，∴ND∥AM（3分）
∵ND?面PAB，AM?面PAB，∴ND∥面PAB（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中點E，則$AD\underline{\underline{∥}}CE$，所以四邊形AECD是平行四邊形，
所以CD∥AE，又因為AB=AC，所以AE⊥BC，所以CD⊥BC，
又BC∥AD，所以CD⊥AD（6分）

PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD（7分）
又PA∩AD=A，所以CD⊥面PAD．（8分）
在面PAD內過A做AF⊥PD于F，則CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，連接NF，則∠ANF是AN與面PND所成的角．（10分）
在Rt△ANF中，$AN=\frac{1}{2}PC=\frac{5}{2}$，$AF=\frac{4×2}{{\sqrt{16+4}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$sin∠ANF=\frac{AF}{AN}=\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$，
所以AN與面PND所成角的正弦值為$\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出線面角是關鍵．