Question

【題目】已知橢圓的離心率為,拋物線的焦點是,是拋物線上的點,H為直線上任一點,A,B分別為橢圓C的上下頂點,且A,B,H三點的連線可以構成三角形.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)直線HA,HB與橢圓C的另一交點分別為點D,E,求證:直線DE過定點.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)先求出拋物線方程，然后列出的方程組，解之得橢圓標準方程．

(Ⅱ) 設點，求得方程，與橢圓聯立求得坐標，寫出直線方程，由方程觀察得定點．

解(Ⅰ)由拋物線焦點為,得拋物線方程為

由題意知,,

解得,

∴橢圓C的方程為.

(Ⅱ)設點,易知,,

∴直線HA的方程為,直線HB的方程為.

聯立,得,

∴,,同理可得,,

∴直線DE的斜率為,∴直線DE的方程為

,

即,

∴直線過定點.

即直線DE過定點.