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【題目】已知函數(shù)f(x)=(a、b∈R,a、b為常數(shù)),且y=f(x)在x=1處切線方程為y=x﹣1.
(1)求a,b的值;
(2)設h(x)= , k(x)=2h′(x)x2 , 求證:當x>0時,k(x)<+

【答案】解:(1)由題意知,f′(x)=
故f(1)=ln(1+a)+b=0,
f′(1)=﹣[ln(1+a)+b]=1,
解得,a=b=0;
(2)證明:h(x)==
h′(x)=
k(x)=2h′(x)x2=
當x>0時,令t=2x,=的導數(shù)為
顯然t=1取得最大值
即有∈(0,],
設m(x)=1﹣2xlnx﹣2x,
m′(x)=﹣2lnx﹣4=﹣2(lnx+2),
故m(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減,
故mmax(x)=m()=1+且g(x)與m(x)不于同一點取等號,
故k(x)<(1+)=+
【解析】(1)先求導f′(x),從而由f(1)=ln(1+a)+b=0,f′(1)=1組成方程組求解即可;
(2)化簡h(x),求導h′(x),從而化簡k(x)=2h′(x)x2 , 分別判斷與1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可證明.

練習冊系列答案
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