Question

（2012•廣東模擬）已知函數(shù)f(x)=

x2

2

-(1+2a)x+

4a+1

2

ln(2x+1)．
（1）設a=1時，求函數(shù)f（x）極大值和極小值；
（2）a∈R時討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）a=1，f（x）=

x2

2

-3x+

5

2

ln（2x+1），x＞-

1

2

，可求得f′（x）=

(2x-1)(x-2)

2x+1

，通過將x、f（x）、f′（x）的變化情況列表可求得函數(shù)f（x）極大值和極小值；
（2）求得f′（x）=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

，通過比較2a與-

1

2

，2a與

1

2

的大小，分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性與極值之間的關系即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=

x2

2

-3x+

5

2

ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f'（x）=x-3+

5

2x+1

=

(2x+1)(x-3)+5

2x+1

=

(2x-1)(x-2)

2x+1

，…（1分）
令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↙	極小	↗

…（4分）
由上表可得：f(x)極大=f(

1

2

)=

5

2

ln2-

11

8

，f(x)極小=f(2)=

5

2

ln5-4…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=2a…（6分）
i、當2a＞

1

2

，即a＞

1

4

時，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），減區(qū)間為（

1

2

，2a）…（8分）
ii、當2a=

1

2

，即a=

1

4

時，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，+∞）…（10分）
iii、當-

1

2

＜2a＜

1

2

，即-

1

4

＜a＜

1

4

時，

x	（- 1 2 ，2a）	2a	（2a， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（2a，

1

2

）…（12分）
iv、當2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

時，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↙		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（-

1

2

，

1

2

）…（14分）
綜上述：a≤-

1

4

時，f（x）的增區(qū)間為（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（-

1

2

，

1

2

）-

1

4

＜a＜

1

4

時，f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（2a，

1

2

）a=

1

4

時，f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

時，f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），減區(qū)間為（

1

2

，2a）
說明：如果前面過程完整，最后沒有綜上述，可不扣分

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，著重考查求函數(shù)極值的基本步驟，突出化歸思想與分類討論思想的考查，屬于難題．