Question

在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD
都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2，點F是AE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求面BDF與面ABC所成的角余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中點G，證明 FG和CD平行且相等，得到四邊形CDFG為平行四邊形，可得DF∥CG，即可證得DF∥平面ABC．
（2）過B作BM平行于CG，過G作GN⊥BM，∠FNG為所求二面角的平面角，面積法求出B到CG的距離，即NG 的值，
 FG=

1

2

EB，Rt△FGN中，可求出tan∠FNG 的值．

解答：解：（1）取AB中點G，連GF，CF，則FG是△ABE的中位線，FG∥EB，
且FG=

1

2

EB．由BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2 知，CD∥EB，
CD=

1

2

EB．∴FG和CD平行且相等，故四邊形CDFG為平行四邊形．
∴DF∥CG，而CG在平面ABC內，DF不在平面ABC內，故DF∥平面ABC．
（2）：過B作BM平行于CG，則BM為這兩個平面的交線，過G作GN⊥BM，
垂足為N，連接FN，則∠FNG為所求二面角的平面角．
NG 等于B到CG的距離，等于

BG•BC

CG

= 

1×2

5

，FG=

1

2

EB=1，
Rt△FGN中，tan∠FNG=

FG

GN

=

5

2

．

點評：本題考查證明先面平行的方法，求二面角的平面角的大小，找出二面角的平面角是解題的難點和關鍵．