Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，右頂點為，設離心率為，且滿足，其中為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點（0,1）的直線與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設橢圓的焦半距為c，結合題意分析可得，結合橢圓的幾何性質可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（Ⅱ）由題意分析可得直線l與x軸不垂直，設其方程為y=kx+1，聯立l與橢圓C的方程，可得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0，結合根與系數的關系可以用k表示|MN|與O到l的距離，由三角形面積公式計算可得△OMN的面積 .，由基本不等式分析可得答案．

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的焦半距為，則，，.

所以，其中，又，聯立解得，.

所以橢圓的方程是.

（Ⅱ）由題意直線不能與軸垂直，否則將無法構成三角形.

當直線與軸不垂直時，設其斜率為，那么的方程為.

聯立與橢圓的方程，消去，得.

于是直線與橢圓由兩個交點的充要條件是，這顯然成立.

設點，.

由根與系數的關系得，.

所以 ，又到的距離.

所以的面 .

令，那么 ，當且僅當時取等號.

所以面積的最大值是.