Question

【題目】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布.

（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及X的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（�。┰囌f明上述監控生產過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.

用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ（精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要. ,

【解析】

（1）依題知一個零件的尺寸在之內的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進而可以求出的數學期望.

（2）（i）判斷監控生產過程的方法的合理性，重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；

（ii）計算，剔除之外的數據，算出剩下數據的平均數，即為的估計值，剔除之外的數據，剩下數據的樣本方差，即為的估計值.

（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，

從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，

故.

因此.

的數學期望為.

（2）（i）如果生產狀態正常，

一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，

一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件

概率只有0.0408，發生的概率很小.

因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程

可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，

可見上述監控生產過程的方法是合理的.

（ii）由，

得的估計值為，的估計值為，

由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，

因此需對當天的生產過程進行檢查.

剔除之外的數據，

剩下數據的平均數為，

因此的估計值為.

，

剔除之外的數據，

剩下數據的樣本方差為，

因此的估計值為.