Question

(本小題滿分14分)

已知函數的極值點為和．

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）試討論方程根的個數；

（Ⅲ）設，斜率為的直線與曲線交于

兩點，試比較與的大小，并給予證明．

Answer 1

本題考查函數、導數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類與整合思想、數形結合思想．滿分14分.

解：（Ⅰ），，……………… 1分

由的極值點為和，

∴的根為和，

∴解得                   ……………………3分

（Ⅱ）由得，

，設， .

，      ………………5分

當變化時，與的變化情況如下表：

	－	+
	單調遞減	單調遞增

由此得，函數的單調減區間為，單調增區間為.…6分

∴，

且當正向趨近于0時，趨近于，

當趨近于時，趨近于. ………………7分

∴當時，方程只有一解；

當時，方程有兩解；

當時，方程無解.                         ………………9分

（Ⅲ）.                                   ……………10分

證明：由（Ⅰ）得，

∴，.

要證，即證，

只需證，（因為）

即證．只需證．（*）…………………12分

設 ，

，

∴在單調遞增，，

∴不等式（*）成立.

∴．                                 ………………… 14分