Question

已知命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)；q：f（

1

2

）＞

1

2

．下列函數(shù)：
①f（x）=

2

x+1

，
②f（x）=cos

πx

2

，
③f（x）=2^x-1
中能使p，q都成立的是

①②

．（寫出符合要求的所有函數(shù)的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①由f（x）=

2

x+1

，知命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
②由f（x）=cos

πx

2

，知命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
③由f（x）=2^x-1，知命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都不成立．

解答：解：①∵f（x）=

2

x+1

，
∴f（x-1）=

2

x-1+1

=

2

x

是奇函數(shù)，
f（

1

2

）=

2

1 2 +1

=

4

3

＞

1

2

，
∴命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
②∵f（x）=cos

πx

2

，
∴f（x-1）=cos

π(x-1)

2

=sin

π

2

x是奇函數(shù)，
f（

1

2

）=cos

π× 1 2

1 2

=

2

2

＞

1

2

，
∴命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
③∵f（x）=2^x-1，
∴f（x-1）=2^x-1-1不是奇函數(shù)，
f（

1

2

）=2

1

2

-1=

2

-1＜

1

2

．
∴命題：p：f（x-1）是奇函數(shù)，命題q：f（

1

2

）＞

1

2

都不成立．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．