Question

已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓方程；

（2）直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為與橢圓交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；

（3）以第（2）題中的為邊作一個(gè)等邊三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，若焦點(diǎn)明確，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值，若不明確，需分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論；（3）涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；直線與圓錐曲線相交所得中的弦問(wèn)題，就解析幾何的內(nèi)容之一，一般有以下三種類(lèi)型：①求中點(diǎn)弦所在的直線方程；②求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；③弦長(zhǎng)為定值時(shí)，弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱(chēng)變換法.

試題解析：（1）由題意得 2分

又，

得，，解得或（舍去）， 2分

則， 1分

故橢圓方程為． 1分

（2）直線的方程為． 1分

聯(lián)立方程組

消去并整理得． 3分

設(shè)，．

故，． 1分

則 2分

（3）設(shè)的中點(diǎn)為．

可得， 1分

． 1分

線段的中垂線斜率為， 所以

設(shè) 1分

所以． 1分

當(dāng)△為正三角形時(shí)，，

可得， 解得或． 2分

即，或． 1分

考點(diǎn)：1、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓相交求弦長(zhǎng)；3、直線與橢圓的綜合問(wèn)題.