Question

【題目】如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC=2

（1）求證：AM⊥平面EBC
（2）（文）求三棱錐C﹣ABE的體積．
（3）（理）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，

∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，

∴以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，以AC和AE為y軸和z軸，

建立如圖空間直角坐標系A﹣xyz．

設EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

∵M是正方形ACDE的對角線的交點，∴M（0，1，1）．

=（0，1，1）， =（0，2，﹣2）， =（2，0，0），

∴ =0， =0，∴AM⊥EC，AM⊥CB，

∴AM⊥平面EBC

（2）解：VC﹣ABE=VE﹣ABC= =
（3）解：設平面EAB的法向量為 =（x，y，z），

則 ，且 ，

∴ ，且 ．

∴ ，取x=1，得 =（1，﹣1，0）．

又∵ 為平面EBC的一個法向量，且 =（0，1，1），

∴cos＜ ＞= =﹣ ，

設二面角A﹣EB﹣C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜ ＞|= ，

∴θ=60°．

∴二面角A﹣EB﹣C的大小為60°．

【解析】（1）推導出EA⊥AC，從而EA⊥平面ABC，以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，以AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能證明AM⊥平面EBC．（2）（文）由VC﹣ABE=VE﹣ABC ， 能求出三棱錐C﹣ABE的體積．（3）（理）求出平面EAB的法向量和平面EBC的一個法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大�。�
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．