Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是A₁C₁的中點，則直線AD與平面B₁DC所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

分析：如圖，先證出B₁D⊥平面AC₁，過A點作AG⊥CD，證AG⊥平面B₁DC，可知∠ADG即為直線AD與平面B₁DC所成角，求其正弦即可．

解答：解：如圖，連接B₁D易證B₁D⊥平面AC₁，過A點作AG⊥CD，
則由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D由線面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即為直線AD與平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱長為2，則可得AD=

5

=CD，
由等面積法算得AG=

AC×AA 1

CD

=

4 5

5

所以直線AD與面DCB₁的正弦值為

4

5

；
故答案為

4

5

．

點評：考查正棱柱的性質以及線面角的求法．考查空間想象能力以及點線面的位置關系