Question

某企業生產一種產品時，固定成本為5 000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2 500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為(萬元)(0≤≤5)，其中是產品售出的數量(單位：百臺)
(1)把利潤表示為年產量的函數；
(2)年產量多少時，企業所得的利潤最大；
(3)年產量多少時，企業才不虧本？

Answer 1

（1）
（2）當生產475臺時，利潤最大．
（3）企業年產量在10臺到4 800臺之間時，企業不虧本．

解：(1)利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，
當x≤5時，產品能全部售出，當x＞5時，只能銷售500臺，所以
＝
(2)在0≤x≤5時，y＝－x²＋4.75x－0.5，當x＝－＝4.75百臺時，y_max＝10.781 25 萬元．
當x＞5 百臺時，y＜12－0.25×5＝10.75 萬元，所以當生產475臺時，利潤最大．
(3)要使企業不虧本，即要求：或
解得5≥x≥4.75－≈0.1 百臺或5＜x＜48 百臺，即企業年產量在10臺到4 800臺之間時，企業不虧本．