Question

定義在（m，n）上的可導函數f（x）的導數為f'（x），若當x∈[a，b]?（m，n）時，有|f'（x）|≤1，則稱函數f（x）為[a，b]上的平緩函數．下面給出四個結論：
①y=cosx是任何閉區間上的平緩函數；
②y=x²+lnx是[

1

2

，1]上的平緩函數；
③若f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1是[0，

1

2

]上的平緩函數，則實數m的取值范圍是[-

3

3

，

1

2

]；
④若y=f（x）是[a，b]上的平緩函數，則有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
這些結論中正確的是

①③④

（多填、少填、錯填均得零分）．

Answer 1

分析：根據平緩函數的定義逐個命題判斷即可．

解答：解：①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何閉區間上的平緩函數，故①正確；
②中，y′=2x+

1

x

，當x=1時，|y′|=3＞1，不滿足平緩函數的定義，故②錯誤；
③中，f′（x）=x²-2mx-3m²，
因為f（x）是[0，

1

2

]上的平緩函數，所以|x²-2mx-3m²|≤1恒成立，即-1≤x²-2mx-3m²≤1恒成立，
亦即

x2-2mx-3m2+1≥0① x2-2mx-3m2-1≤0②

在[0，

1

2

]上恒成立，
對①式，
當m＜0時，x²-2mx-3m²+1在[0，

1

2

]上單調遞增，最小值-3m²+1≥0，解得-

3

3

≤m≤

3

3

，
所以-

3

3

≤m＜0；
當0≤m≤

1

2

時，x²-2mx-3m²+1的最小值-4m²+1≥0，解得-

1

2

≤m≤

1

2

，
所以0≤m≤

1

2

；
當m＞

1

2

時，x²-2mx-3m²+1的最小值

1

4

-m-3m²+1≥0，解得-

5

6

≤m≤

1

2

，
所以此時m∈∅；
故對①式恒成立得，-

3

3

≤m≤

1

2

；
對②式，結合圖象，
只需當x=0，

1

2

時，x²-2mx-3m²-1≤0，即

-3m2-1≤0 1 4 -m-3m2-1≤0

，解得m∈R，
綜上，實數m的取值范圍是[-

3

3

，

1

2

]，故③正確；
④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平緩函數，所以|f′（x）|≤1恒成立，
則存在點c∈（a，b），使得f′(c)=

f(a)-f(b)

a-b

，則|

f(a)-f(b)

a-b

|≤1，
所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正確．

點評：本題考查導數的運算，考查學生對問題的閱讀理解能力解決問題的能力．