Question

定義在（m，n）上的可導函數f（x）的導數為f'（x），若當x∈[a，b]?（m，n）時，有|f'（x）|≤1，則稱函數f（x）為[a，b]上的平緩函數．下面給出四個結論：
①y=cosx是任何閉區間上的平緩函數；
②y=x²+lnx是上的平緩函數；
③若f（x）=x³-mx²-3m²x+1是[0，]上的平緩函數，則實數m的取值范圍是；
④若y=f（x）是[a，b]上的平緩函數，則有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
這些結論中正確的是    （多填、少填、錯填均得零分）．

Answer 1

【答案】分析：根據平緩函數的定義逐個命題判斷即可．
解答：解：①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何閉區間上的平緩函數，故①正確；
②中，，當x=1時，|y′|=3＞1，不滿足平緩函數的定義，故②錯誤；
③中，f′（x）=x²-2mx-3m²，
因為f（x）是[0，]上的平緩函數，所以|x²-2mx-3m²|≤1恒成立，即-1≤x²-2mx-3m²≤1恒成立，
亦即在[0，]上恒成立，
對①式，
當m＜0時，x²-2mx-3m²+1在[0，]上單調遞增，最小值-3m²+1≥0，解得-≤m≤，
所以-≤m＜0；
當0≤m≤時，x²-2mx-3m²+1的最小值-4m²+1≥0，解得-≤m≤，
所以0≤m≤；
當m＞時，x²-2mx-3m²+1的最小值-m-3m²+1≥0，解得-，
所以此時m∈∅；
故對①式恒成立得，-≤m；
對②式，結合圖象，
只需當x=0，時，x²-2mx-3m²-1≤0，即，解得m∈R，
綜上，實數m的取值范圍是，故③正確；
④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平緩函數，所以|f′（x）|≤1恒成立，
則存在點c∈（a，b），使得，則，
所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正確．
點評：本題考查導數的運算，考查學生對問題的閱讀理解能力解決問題的能力．