Question

【題目】已知函數g（x）=，f（x）=g'（x）-（a是常數）．若對a∈R，函數h（x）=kx（k是常數）的圖象與曲線y=f（x）總相切于一個定點．

（1）求k的值；

（2）若對∈（0，+∞），[f（）-h（）][f（）-h（）]＞0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) k=1 (2) （-∞，1]

【解析】

（1）由函數的圖像與曲線 總相切于定點可知的值是與 無關的常數，即可求出，再計算出切點坐標得出切線方程，從而得到的值；

（2）設，由題可得恒成立或恒成立，化簡可得恒正或恒負，討論的值，計算的最值進行判斷

解：（1）由已知得，．

可設函數的圖像與曲線 總相切于定點,

可得，且的值是與 無關的常數，因而，，進而可求得切線方程為，得，所以，

（2）因為，所以可設,

可得題設即，，則與同號，即恒成立或恒成立．

設，可得．

可得題設即：恒成立或恒成立；

①當時，可得，所以是增函數，此時滿足題意，

②當時，可得在上分別是減函數、增函數，

進而可得題設恒成立．

取，下面判斷的正負：

設函數，可得，，是增函數，因而，是增函數；

故，∴，

說明時不滿足題意．

綜上所述，可得所求實數的取值范圍是．