Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且｜OP｜＝，·＝（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）直線(xiàn)y＝x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使＋＝

λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)則由得，

由得，即  ………2分

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052307294979687321/SYS201205230731336250170211_DA.files/image008.png">，所以                    ………3分

橢圓C的方程為：；                                 ……….4分

（Ⅱ）解法一:由得，

設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組

消去y得：                     ………5分

設(shè),

則                            ………6分

             

∵，∴，

得,于是        ………8分

 ………9分

到直線(xiàn)的距離為

∴，

當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，的最大值為         ………12分

解法二:由得，

設(shè)則

∴…………①                ………5分

∵，

∴，代入①得，              ………6分

設(shè)直線(xiàn)的方程為          ………7分

橢圓方程得  

，

                           ……….9分

到直線(xiàn)的距離為

∴，                        ………11分

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最大值為                    ………12分

 

【解析】略